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本课程来自，部分截图来自课程视频。 【第二章 微积分】2.1导数中的中值定理

任务详解：

这节课主要介绍了函数的导数，中值定理与洛必达法则等知识点。

掌握目标： 1、掌握导数的意义以及初等函数导数公式，求导法则 2、了解中值定理，洛必达法则 ，泰勒公式 3、了解函数的凹凸性 4、掌握函数的极值，以及极值的充要条件 5、掌握不定积分，定积分的计算，第一第二类换元，分部积分法，牛顿莱布尼茨公式

1.函数的导数

导数的引入：

1.直线运动的速度

计算$t_0$的瞬时速度为： $$v=\underset{t\to t_0}{\lim }\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}$$ 2.曲线的切线 求MN两点间割线的斜率(当N无限靠近M的时候，就相当于M点切线的斜率)： $$k=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

定义

定义设函数$y=f(x)$在点$x_0$的某个邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$（点$x_0+\Delta x$仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x）-f(x_0)$；如果$\Delta y$与$\Delta x$之比当$\Delta x\to 0$时的极限存在，那么称函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$在点$x_0$处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$，即

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$ 也可记作$y^{\prime }{|}_{x=x_0}$,$\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}$或$\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

常用函数的导数

函数$f(x)=C（C为常数）$的导数为：0

函数$f(x)=x^n（n\in N）$的导数为：$n{x}^{n-1}$ 幂函数$f(x)=x^{\mu }（\mu \in R）$的导数为：$\mu x^{\mu -1}$ 函数$f(x)=sinx$的导数为：$cosx$ 函数$f(x)=a^x（a>0，a\ne 1）$的导数为：$a^{x}lna$，特别的当$a=e$时，$(e^x{)}^{\prime }=ex$ 函数$f(x)=lo{g}_{a}x（a>0，a\ne 1）$的导数为：$\frac{1}{xlna}$，特别的当$a=e$时，$(lnx{)}^{\prime }=1x$

定理：导数存在<==>左右导数存在且相等

例题：函数$f(x)=|x|$在$x=0$处的导数不存在 $$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{|x+\Delta x|-|x|}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{|\Delta x|}{\Delta x}$$ 当（右极限或叫右导数）$\Delta x\to 0^{+},\frac{\Delta x}{\Delta x}=1$， 当（左极限或叫左导数）$\Delta x\to 0^{-},\frac{\Delta x}{\Delta x}=-1$ 左右极限不相等，故导数不存在。

求导法则

$1.[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u(x{)}^{\prime }\pm v(x{)}^{\prime }$

$2.[u(x)v(x){]}^{\prime }=u(x{)}^{\prime }v(x)+u(x)v(x{)}^{\prime }$ $3.\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]=\frac{u(x{)}^{\prime }v(x)-u(x)v(x{)}^{\prime }}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$

链式法则

如果$u=g(x)$在点x可导，而$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为：

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)或\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

高阶导数

2.中值定理与洛必达法则

拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足

（1）在闭区间$[a,b]$上连续； （2）在开区间$(a,b)$内可导，那么在$(a,b)$内至少有一点$(a<f<b)$，使等式 $$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$ 成立. 从图像上看就是a，b两点间的曲线上，总是可以找到一个点的切线的斜率与线ab的斜率相等（二者平行）$\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f^{\prime }(\xi )$ 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一种特殊情况（就是$F(x)=x$）。

柯西中值定理

如果函数$f(x)$及$F(x)$满足

（1）在闭区间$[a,b]$上连续； （2）在开区间$(a,b)$内可导； （3）对任一$x\in (a,b),F^{\prime }(x)\ne 0$，那么在$(a,b)$内至少有一点，使等式 $$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$ 成立。

洛必达法则

主要是用来求两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限。

方法是：通过分子分母分别求导再求极限。 证明过程用到了柯西中值定理。

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